Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc - Lý Thuyết và Bài Tập

Chào mừng các bạn đến với bài học về hai mặt phẳng vuông góc trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Đây là một chủ đề quan trọng, nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về không gian ba chiều và các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học.

1. Định Nghĩa Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng.
2. Trong mỗi mặt phẳng, vẽ một đường thẳng vuông góc với giao tuyến Δ.
3. Góc giữa hai đường thẳng này là góc giữa hai mặt phẳng.

Một điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc là mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q).

2. Điều Kiện Để Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Có một số điều kiện để xác định hai mặt phẳng vuông góc:

• Điều kiện 1: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q).
• Điều kiện 2: Nếu (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau thì (P) và (Q) vuông góc.
• Điều kiện 3: Nếu mặt phẳng (P) vuông góc với một trong hai mặt phẳng (Q) và (R) mà (Q) và (R) vuông góc với nhau thì (P) vuông góc với mặt phẳng (Q ∩ R).

3. Ứng Dụng và Bài Tập Ví Dụ

Kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong việc tính góc, khoảng cách và xác định mối quan hệ giữa các đối tượng hình học.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

• Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với BC.
• Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có tan(∠SCA) = SA/AC = SA/(a√2).
• Vậy, góc giữa SC và (ABCD) bằng ∠SCA.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến Δ. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng M thuộc Δ.

Giải:

Bài toán này đòi hỏi việc sử dụng các tính chất của đường trung bình và điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng. (Giải chi tiết sẽ được trình bày trong tài liệu đầy đủ tại tusach.vn)

4. Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức, các bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:

• Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).
• Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = MB.

5. Kết Luận

Bài học về hai mặt phẳng vuông góc là một phần quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững định nghĩa, điều kiện và ứng dụng của kiến thức này sẽ giúp các bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên và tham khảo tài liệu tại tusach.vn để đạt kết quả tốt nhất!