Chương VII. Đạo hàm

Chương VII. Đạo hàm: Tổng quan và Hướng dẫn Chi tiết

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số. Nó đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế học và khoa học máy tính.

1. Định nghĩa Đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a, ký hiệu là f'(a), được định nghĩa là giới hạn:

f'(a) = lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x = a.

2. Ý nghĩa Hình học và Vật lý của Đạo hàm

• Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(a) biểu thị độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) tại điểm (a, f(a)).
• Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian biểu thị vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian biểu thị gia tốc.

3. Các Quy tắc Tính Đạo hàm

Để đơn giản hóa việc tính đạo hàm, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:

1. Đạo hàm của hằng số:(c)' = 0
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:(xⁿ)' = nx^n-1
3. Đạo hàm của tổng/hiệu:(u ± v)' = u' ± v'
4. Đạo hàm của tích:(uv)' = u'v + uv'
5. Đạo hàm của thương:(u/v)' = (u'v - uv') / v²
6. Đạo hàm của hàm hợp:(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) (Quy tắc chuỗi)

4. Đạo hàm của các Hàm số Đặc biệt

5. Đạo hàm Cấp Hai

Đạo hàm cấp hai, ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của đạo hàm cấp một f'(x). Nó biểu thị tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một.

f''(x) = (f'(x))'

6. Ứng dụng của Đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:

• Tìm cực trị của hàm số (cực đại, cực tiểu)
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số
• Giải các bài toán tối ưu hóa
• Tính gần đúng giá trị của hàm số

Bài tập ví dụ:

Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

f'(x) = 6x + 2

Chương VII. Đạo hàm là nền tảng cho việc học tập các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích và các môn khoa học khác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả và tự tin.