Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải tích

Bài 2 thuộc chương trình Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về giới hạn hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{5n + 1}}{{2n}};) b) (lim frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};) c) (lim frac{{sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};) d) (lim left( {2 - frac{1}{{{3^n}}}} right);) e) (lim frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};) g) (lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.)

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}};\)

b) \(\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};\)

c) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};\)

d) \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right);\)

e) \(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};\)

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 1

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết

a) \(\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}} = \lim \frac{{5 + \frac{1}{n}}}{2} = \frac{{5 + 0}}{2} = \frac{5}{2}\)

b) \(\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}} = \lim \frac{{6 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{5 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{{6 + 0 + 0}}{{5 + 0}} = \frac{6}{5}\)

c) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{6 + \frac{2}{n}}} = \frac{{\sqrt {1 + 0 + 0} }}{{6 + 0}} = \frac{1}{6}\)

d) \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \lim 2 - \lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 2 - 0 = 2\)

e) \(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{4} = \frac{{1 + 0}}{4} = \frac{1}{4}\)

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}\)

Ta có \(\lim \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2 > 0;\lim {3^n} = + \infty \Rightarrow \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}} = 0\)

Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 2 yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)
lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1)
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Lời giải chi tiết

1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Do đó:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1

2. lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1)

Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

Do đó:

lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x² - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x² - x + 1) = (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Để tính giới hạn này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:

lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn, cần kiểm tra xem mẫu thức có bằng 0 hay không. Nếu mẫu thức bằng 0, cần phân tích tử thức và mẫu thức để rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn.
Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản và các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa bài toán.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị x tiến tới giá trị giới hạn vào biểu thức để đảm bảo kết quả là hợp lý.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về giới hạn, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều và các tài liệu luyện tập khác.

Kết luận

Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về giới hạn hàm số. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

Chúc các bạn học tốt!