Lý Thuyết Cấp Số Cộng - Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Cấp số cộng - Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Cấp số cộng của chương trình Toán 11 Cánh Diều tại tusach.vn!

Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng về cấp số cộng, bao gồm định nghĩa, các tính chất quan trọng, công thức tổng quát và các ví dụ minh họa dễ hiểu.

Chúng tôi cam kết giúp bạn nắm vững kiến thức này để tự tin giải quyết các bài tập trong SGK và các đề thi.

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số ,trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Tức là:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)

Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Lý Thuyết Cấp Số Cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều: Tổng Quan Chi Tiết

Cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của cấp số cộng là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết cấp số cộng theo SGK Toán 11 Cánh Diều, cung cấp kiến thức chi tiết, dễ hiểu và kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Định Nghĩa Cấp Số Cộng

Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu có một số không đổi d (gọi là công sai) sao cho với mọi n ≥ 1, ta có:

u_n+1 = u_n + d

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng.
d là công sai.

Ví dụ: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14,... là một cấp số cộng với công sai d = 3.

2. Các Tính Chất Quan Trọng của Cấp Số Cộng

Cấp số cộng có một số tính chất quan trọng sau:

Tính chất 1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng được tính bởi công thức: u_n = u₁ + (n - 1)d, trong đó u₁ là số hạng đầu tiên.
Tính chất 2: Nếu biết ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, ta có thể tính được công sai: d = u₂ - u₁ = u₃ - u₂.
Tính chất 3: Số hạng đứng giữa hai số hạng bất kỳ của cấp số cộng bằng trung bình cộng của hai số hạng đó: u_k = (u_i + u_j) / 2 nếu k = (i + j) / 2.

3. Tổng của n Số Đẩu Tiên của Cấp Số Cộng

Tổng của n số đầu tiên của cấp số cộng được tính bởi công thức:

S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]

Ví dụ: Tính tổng của 10 số đầu tiên của cấp số cộng 2, 5, 8, 11,...

S₁₀ = 10/2 * [2*2 + (10 - 1)*3] = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155

4. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 2. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 3 + 9*2 = 3 + 18 = 21

Bài 2: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 5 là 16 và số hạng thứ 10 là 26. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Giải: Ta có: u₅ = u₁ + 4d = 16 và u₁₀ = u₁ + 9d = 26.

Giải hệ phương trình này, ta được: u₁ = 6 và d = 2

5. Ứng Dụng của Cấp Số Cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính số tiền tiết kiệm theo thời gian với lãi suất cố định.
Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần theo một quy luật nhất định.
Tính số lượng người trong một dòng họ qua các thế hệ.

Kết Luận

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tập tốt!

Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều