Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Hàm số liên tục - Toán 11 Cánh Diều

Hàm số liên tục là một khái niệm nền tảng trong chương trình Toán 11, đặc biệt trong sách giáo khoa Cánh Diều.

Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong SGK mà còn là bước đệm quan trọng cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích.

Tusach.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và dễ hiểu về Lý thuyết Hàm số liên tục, giúp bạn học tập hiệu quả.

I. Khái niệm

I. Khái niệm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

III. Một số định lí cơ bản

1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - SGK Toán 11 Cánh Diều: Giải Mã Từng Khái Niệm

Hàm số liên tục là một trong những khái niệm quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 11, đặc biệt là khi học theo sách giáo khoa Cánh Diều. Hiểu rõ về hàm số liên tục không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong giải tích.

1. Định Nghĩa Hàm Số Liên Tục

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
lim_x→x₀ f(x) tồn tại (tức là giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀ là một số thực xác định).
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀) (tức là giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀).

Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

2. Các Tính Chất Của Hàm Số Liên Tục

Hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng sau:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu số khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

3. Ứng Dụng Của Hàm Số Liên Tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Trong vật lý: mô tả sự biến đổi liên tục của các đại lượng vật lý.
Trong kinh tế: mô tả sự thay đổi liên tục của các yếu tố kinh tế.
Trong kỹ thuật: mô tả các quá trình liên tục trong các hệ thống kỹ thuật.

4. Bài Tập Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Hàm số này liên tục trên tập số thực R vì nó là một đa thức.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này không liên tục tại x = 0 vì nó không xác định tại điểm này.

5. Mẹo Học Tập Hiệu Quả

Để nắm vững lý thuyết hàm số liên tục, bạn nên:

Hiểu rõ định nghĩa và các điều kiện để một hàm số được gọi là liên tục.
Nắm vững các tính chất của hàm số liên tục.
Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như đồ thị hàm số để trực quan hóa khái niệm.

6. Tài Liệu Tham Khảo Bổ Sung

Ngoài sách giáo khoa Cánh Diều, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Sách bài tập Toán 11
Các trang web học toán trực tuyến
Các video bài giảng trên YouTube

Tusach.vn hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán 11. Chúc bạn thành công!

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều