Lý Thuyết Các Phép Biến Đổi Lượng Giác - Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - Toán 11 Cánh Diều

Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về các phép biến đổi lượng giác trong chương trình Toán 11, sách Cánh Diều.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các công thức, tính chất quan trọng và ứng dụng thực tế của các phép biến đổi này.

Tusach.vn hy vọng sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.

I. Công thức cộng

I. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

II. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Suy ra, công thức hạ bậc:

\({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2},{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

Lý Thuyết Các Phép Biến Đổi Lượng Giác - Toán 11 Cánh Diều: Tổng Quan

Trong chương trình Toán 11, phần lượng giác đóng vai trò quan trọng, và các phép biến đổi lượng giác là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về các phép biến đổi lượng giác theo sách giáo khoa Toán 11 Cánh Diều, giúp học sinh hiểu rõ và áp dụng hiệu quả vào việc học tập và làm bài tập.

1. Các Phép Biến Đổi Lượng Giác Cơ Bản

Các phép biến đổi lượng giác cơ bản bao gồm:

Công thức cộng góc: sin(a + b), cos(a + b), tan(a + b), cot(a + b)
Công thức trừ góc: sin(a - b), cos(a - b), tan(a - b), cot(a - b)
Công thức nhân đôi: sin(2a), cos(2a), tan(2a), cot(2a)
Công thức chia đôi: sin(a/2), cos(a/2), tan(a/2), cot(a/2)

2. Công Thức Cộng Góc

Đây là những công thức quan trọng nhất và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán lượng giác:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))
cot(a + b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))

3. Công Thức Trừ Góc

Công thức trừ góc có thể được suy ra từ công thức cộng góc bằng cách thay b bằng -b:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))
cot(a - b) = (cot(a)cot(b) + 1) / (cot(b) - cot(a))

4. Công Thức Nhân Đôi

Công thức nhân đôi giúp chúng ta tính giá trị lượng giác của góc 2a dựa trên giá trị lượng giác của góc a:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))
cot(2a) = (cot²(a) - 1) / (2cot(a))

5. Công Thức Chia Đôi

Công thức chia đôi giúp chúng ta tính giá trị lượng giác của góc a/2 dựa trên giá trị lượng giác của góc a:

sin(a/2) = ±√((1 - cos(a)) / 2)
cos(a/2) = ±√((1 + cos(a)) / 2)
tan(a/2) = ±√((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))
cot(a/2) = ±√((1 + cos(a)) / (1 - cos(a)))

Lưu ý: Dấu ± phụ thuộc vào khoảng giá trị của a/2.

6. Ứng Dụng Của Các Phép Biến Đổi Lượng Giác

Các phép biến đổi lượng giác có nhiều ứng dụng trong:

Giải phương trình lượng giác: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn để tìm nghiệm.
Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng các công thức để biến đổi một vế về dạng bằng với vế còn lại.
Tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: Sử dụng các công thức để tính giá trị lượng giác của các góc không thuộc bảng giá trị lượng giác.
Các bài toán vật lý: Áp dụng trong các bài toán dao động, sóng, và các hiện tượng vật lý khác.

7. Bài Tập Vận Dụng

Để nắm vững lý thuyết, các em nên luyện tập thường xuyên với các bài tập vận dụng. Tusach.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng và có lời giải chi tiết để các em tham khảo.

Kết Luận

Lý thuyết các phép biến đổi lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các công thức và ứng dụng của chúng sẽ giúp các em giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả và tự tin. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và cần thiết.