Logo
  1. Trang Chủ
  2. Tài Liệu Học Tập
  3. Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Cánh diều
Giải Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Chương VII. Đạo hàm
Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} = - 2\).

b) \(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\).

c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\).

d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\).

e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiếtBài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều 1

Tìm đạo hàm cấp hai của từng hàm số rồi thay giá trị vào.

Lời giải chi tiết

a) \(y' = 6x - 4 \Rightarrow y'' = 6\).

Tại \({x_0} = - 2 \Rightarrow y''( - 2) = 6\).

b)

\(y' = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}} \Rightarrow y'' = \left( {2.\frac{1}{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}}} \right)' = - 2.\frac{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\)

\(= - 2\frac{{2\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\).

Tại \({x_0} = 3 \Rightarrow y''(3) = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2.3 + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {7\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{49\ln 3}}\).

c) \(y' = 4{e^{4x + 3}} \Rightarrow y'' = 16{e^{4x + 3}}\).

Tại \({x_0} = 1 \Rightarrow y''(1) = 16.{e^{4.1 + 3}} = 16.{e^7}\).

d)\(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow y'' = - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Tại \({x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 \).

e) \(y' = - 3.\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow y'' = - 9.\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Tại \({x_0} = 0 \Rightarrow y''(0) = - 9.\cos \left( {3.0 - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}\).

Giải chi tiết Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và phân tích từng bước để bạn có thể hiểu rõ cách giải:

Nội dung bài tập:

Bài 2 yêu cầu tính các giới hạn sau:

  • a) limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2)

  • b) limx→1 (x3 - 1) / (x - 1)

  • c) limx→0 (√(x+1) - 1) / x

Lời giải chi tiết:

a) limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Vậy, limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1

b) limx→1 (x3 - 1) / (x - 1)

Sử dụng công thức hiệu hai lập phương: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Vậy, limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x - 1)(x2 + x + 1) / (x - 1) = limx→1 (x2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3

c) limx→0 (√(x+1) - 1) / x

Để khử dạng vô định, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức: √(x+1) + 1

limx→0 (√(x+1) - 1) / x = limx→0 [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = limx→0 (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = limx→0 x / [x(√(x+1) + 1)] = limx→0 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / 2

Kết luận:

Vậy:

  • a) limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = 1

  • b) limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = 3

  • c) limx→0 (√(x+1) - 1) / x = 1/2

Mẹo giải nhanh:

Khi gặp các bài toán giới hạn có dạng vô định, hãy thử:

  • Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

  • Sử dụng các công thức đại số (hiệu hai lập phương, tổng hai lập phương,...).

  • Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức hoặc mẫu thức.

Luyện tập thêm:

Để nắm vững hơn về giới hạn hàm số, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều và các tài liệu tham khảo khác. tusach.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều lời giải chi tiết và phương pháp giải toán hữu ích cho bạn.

Chúc bạn học tốt!

Tải sách PDF tại TuSach.vn mang đến trải nghiệm tiện lợi và nhanh chóng cho người yêu sách. Với kho sách đa dạng từ sách văn học, sách kinh tế, đến sách học ngoại ngữ, bạn có thể dễ dàng tìm và tải sách miễn phí với chất lượng cao. TuSach.vn cung cấp định dạng sách PDF rõ nét, tương thích nhiều thiết bị, giúp bạn tiếp cận tri thức mọi lúc, mọi nơi. Hãy khám phá kho sách phong phú ngay hôm nay!

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

Sách kỹ năng sống, Sách nuôi dạy con, Sách tiểu sử hồi ký, Sách nữ công gia chánh, Sách học tiếng hàn, Sách thiếu nhi, tài liệu học tập

VỀ TUSACH.VN