Bài 2. Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các quy tắc tính đạo hàm, giúp bạn hiểu rõ và áp dụng một cách hiệu quả.

1. Đạo Hàm Của Hàm Số Cơ Bản

Trước khi đi vào các quy tắc phức tạp, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của các hàm số cơ bản:

Đạo hàm của hằng số: d/dx (c) = 0
Đạo hàm của x: d/dx (x) = 1
Đạo hàm của xⁿ: d/dx (xⁿ) = n*x^n-1

2. Quy Tắc Đạo Hàm Của Tổng, Hiệu, Tích và Thương

Các quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của các hàm số phức tạp được xây dựng từ các hàm số đơn giản hơn:

Quy tắc tổng: d/dx [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
Quy tắc hiệu: d/dx [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
Quy tắc tích: d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Quy tắc thương: d/dx [f(x) / g(x)] = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]²

3. Quy Tắc Đạo Hàm Của Hàm Hợp

Đây là một trong những quy tắc quan trọng nhất, cho phép chúng ta tính đạo hàm của hàm số được tạo thành bằng cách “lồng” các hàm số khác vào nhau. Nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

4. Đạo Hàm Của Các Hàm Lượng Giác

Các hàm lượng giác cũng có các quy tắc đạo hàm riêng:

d/dx (sin x) = cos x
d/dx (cos x) = -sin x
d/dx (tan x) = 1/cos² x
d/dx (cot x) = -1/sin² x

5. Đạo Hàm Của Các Hàm Mũ và Logarit

Các hàm mũ và logarit cũng có các quy tắc đạo hàm đặc biệt:

d/dx (e^x) = e^x
d/dx (a^x) = a^x * ln(a)
d/dx (ln x) = 1/x
d/dx (log_a x) = 1 / (x * ln(a))

Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 5

f'(x) = d/dx (3x²) + d/dx (2x) - d/dx (5) = 6x + 2 - 0 = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x²)

Đặt u = x², thì f(x) = sin(u). dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * 2x = cos(x²) * 2x = 2x * cos(x²)

Bài Tập Thực Hành

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 4x³ - 5x + 1
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos(3x)
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = e^2x

Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán trong giải tích và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các kỹ năng này!