Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.

b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).

- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)

b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)

Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q = - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng trong trường hợp sau: Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát rùa ở điểm \(A_1\) cách Achilles 100km.

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách điểm xuất phát O của Achilles 100km.

Ta tính thời gian Achilles đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... Nếu tổng này vô hạn thì Achilles không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà Achilles đuổi kịp rùa. 

Để chạy hết quãng đường OA₁ =100 (km), Achilles phải mất thời gian t₁ =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h). 

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₁A₂ =1 (km).

Để chạy hết quãng đường A₁A₂ =1 (km), Achilles phải mất thời gian t₂ = \(\frac{1}{{100}}\) (h). 

Với thời gian t₂ rùa đã chạy thêm được quãng đường A₂A₃ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A_n-1A_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), Achilles phải mất thời gian t_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). 

Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... là: 

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ. 

Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.