Bài 5 trang 65 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số

Bài 5 thuộc chương trình giải tích hàm số lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu

Đề bài

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi \({u_n}\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 1

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Sau một chu kì bán rã \({u_1} = 1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left( {kg} \right)\)

Sau hai chu kì bán rã \({u_2} = \frac{1}{2}.{u_1} = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {kg} \right)\)

…

Vậy sau n chu kì bán rã \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\)

b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\)

c) Đổi \({10^{ - 6}}g = {10^{ - 9}}kg\)

Vì chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g nên ta có

\({u_n} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n > {\log _2}{10^9} \approx 29,9\)

Vậy sau 30 chu kì là 30.24 000 = 720 000 năm thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 5 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra:

a) f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)
b) f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng (2; +∞)
c) f(x) = (x - 1)(x² + 2x + 3) trên khoảng (-1; 1)

Hướng dẫn giải

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 (điểm dừng).
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

Giải chi tiết

a) f(x) = x³ - 3x² + 2

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Xét khoảng (-∞; 1), ta chọn x = 0. f'(0) = 0. Tuy nhiên, cần xét dấu của f'(x) trên khoảng (-∞; 0) và (0; 1).

Trên (-∞; 0), f'(x) > 0 nên f(x) đồng biến.
Trên (0; 1), f'(x) < 0 nên f(x) nghịch biến.

Vậy, trên khoảng (-∞; 1), hàm số không đơn điệu.

b) f(x) = x² - 4x + 3

f'(x) = 2x - 4

f'(x) = 0 khi x = 2

Xét khoảng (2; +∞), ta chọn x = 3. f'(3) = 2 > 0 nên f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).

c) f(x) = (x - 1)(x² + 2x + 3)

f(x) = x³ + 2x² + 3x - x² - 2x - 3 = x³ + x² + x - 3

f'(x) = 3x² + 2x + 1

Δ = 2² - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = -8 < 0

Vì Δ < 0 và hệ số a = 3 > 0, nên f'(x) > 0 với mọi x. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Kết luận

Thông qua việc giải chi tiết Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, chúng ta đã nắm vững phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm. Việc hiểu rõ các bước thực hiện và áp dụng linh hoạt vào các bài tập tương tự sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Lưu ý: Bài giải trên chỉ mang tính chất tham khảo. Học sinh nên tự mình giải bài tập để hiểu rõ hơn về kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, hãy để lại bình luận bên dưới. tusach.vn luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn!