Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương VI trong chương trình Toán 12 đi sâu vào nghiên cứu về hàm số mũ và hàm số lôgarit, hai khái niệm then chốt không chỉ trong toán học mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Chương này cung cấp nền tảng vững chắc để học sinh hiểu rõ về sự tăng trưởng và suy giảm theo cấp số nhân, cũng như các bài toán liên quan đến lãi kép, phân rã phóng xạ, và nhiều hiện tượng khác.

1. Hàm Số Mũ

Hàm số mũ có dạng y = a^x, trong đó a là một số thực dương khác 1. Hàm số này có những đặc điểm sau:

• Tập xác định: ℝ (tập hợp tất cả các số thực)
• Tập giá trị: (0, +∞)
• Tính đơn điệu:
• Nếu a > 1, hàm số đồng biến.
• Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến.
• Đồ thị: Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua điểm (0, 1) và tiệm cận với trục hoành.

Ví dụ: y = 2^x là một hàm số mũ đồng biến, trong khi y = (1/2)^x là một hàm số mũ nghịch biến.

2. Hàm Số Lôgarit

Hàm số lôgarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Hàm số lôgarit có dạng y = log_ax, trong đó a là một số thực dương khác 1 và x > 0. Hàm số này có những đặc điểm sau:

• Tập xác định: (0, +∞)
• Tập giá trị: ℝ
• Tính đơn điệu:
• Nếu a > 1, hàm số đồng biến.
• Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến.
• Đồ thị: Đồ thị hàm số lôgarit luôn đi qua điểm (1, 0) và tiệm cận với trục tung.

Ví dụ: y = log₂x là một hàm số lôgarit đồng biến, trong khi y = log_1/2x là một hàm số lôgarit nghịch biến.

3. Các Tính Chất Quan Trọng

Một số tính chất quan trọng của hàm số mũ và hàm số lôgarit cần nắm vững:

1. log_a(xy) = log_ax + log_ay
2. log_a(x/y) = log_ax - log_ay
3. log_a(xⁿ) = n log_ax
4. a^log_ax = x
5. log_aa = 1

4. Phương Trình và Bất Phương Trình Hàm Số Mũ và Lôgarit

Việc giải phương trình và bất phương trình hàm số mũ và lôgarit đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất và kỹ năng biến đổi. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:

• Đưa về cùng cơ số: Sử dụng các tính chất của lôgarit để đưa về cùng cơ số.
• Lấy lôgarit hai vế: Áp dụng hàm lôgarit để loại bỏ số mũ.
• Đặt ẩn phụ: Sử dụng phép đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

5. Ứng Dụng Thực Tế

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Lãi kép: Tính toán số tiền lãi sau một khoảng thời gian nhất định.
• Phân rã phóng xạ: Mô tả tốc độ phân rã của các chất phóng xạ.
• Sự tăng trưởng dân số: Dự đoán sự tăng trưởng dân số trong tương lai.
• Đo cường độ âm thanh: Sử dụng thang đo logarit để đo cường độ âm thanh.

Hy vọng rằng chương này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về hàm số mũ và hàm số lôgarit. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.