Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của nó, và cách tính đạo hàm của một số hàm số đơn giản.

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a; b). Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ thuộc (a; b) là giới hạn:

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀. Ký hiệu f'(x₀) còn được viết là dy/dx hoặc df/dx.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Về mặt hình học, đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Điều này có nghĩa là đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể. Nếu f'(x₀) > 0, hàm số đồng biến tại x₀. Nếu f'(x₀) < 0, hàm số nghịch biến tại x₀. Nếu f'(x₀) = 0, hàm số có thể đạt cực trị tại x₀.

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Ta tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ x:

f'(x) = lim_h→0 ((x + h)² - x²) / h = lim_h→0 (x² + 2xh + h² - x²) / h = lim_h→0 (2x + h) = 2x

Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x² là f'(x) = 2x. Tại điểm x = 2, đạo hàm là f'(2) = 4. Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm (2, 4) có hệ số góc là 4.

4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

• Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
• Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
• Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

5. Bài tập thực hành

1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1
2. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = (x² + 1) / (x - 1)
3. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm có hoành độ x = 1

6. Kết luận

Bài học này đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của nó. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tập và ứng dụng đạo hàm trong các lĩnh vực toán học và khoa học khác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập.