Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Đường thẳng và Mặt phẳng trong Không gian: Tổng quan

Chào mừng bạn đến với bài học đầu tiên của chương Hình học không gian trong chương trình Toán 12! Bài 1 này đóng vai trò vô cùng quan trọng, đặt nền móng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán phức tạp hơn về sau. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào các khái niệm cơ bản, phương pháp xác định và mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz.

1. Vectơ trong Không gian

Trước khi đi vào đường thẳng và mặt phẳng, chúng ta cần ôn lại kiến thức về vectơ trong không gian. Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ được biểu diễn bằng một mũi tên, với điểm đầu và điểm cuối. Các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực cũng được thực hiện tương tự như trong mặt phẳng.

2. Đường thẳng trong Không gian

Có nhiều cách để xác định một đường thẳng trong không gian:

• Xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương: Đường thẳng đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương a = (a₁, a₂, a₃) có phương trình tham số:
• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct
• Xác định bởi hai điểm: Đường thẳng đi qua hai điểm M(x₁, y₁, z₁) và N(x₂, y₂, z₂) có vectơ chỉ phương MN = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).

3. Mặt phẳng trong Không gian

Tương tự như đường thẳng, có nhiều cách để xác định một mặt phẳng:

• Xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có vectơ pháp tuyến n = (a, b, c) có phương trình:
• a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
• Xác định bởi ba điểm không thẳng hàng: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai vectơ tạo bởi ba điểm đó.

4. Mối quan hệ giữa Đường thẳng và Mặt phẳng

Có các trường hợp sau:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách giải hệ phương trình.

5. Bài tập Vận dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (4, 5, 6).
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(7, 8, 9) và có vectơ pháp tuyến n = (1, 0, -1).
3. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng 2x - y + z = 5.

Kết luận

Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là một bài học quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững các khái niệm và phương pháp. Hy vọng với tài liệu chi tiết và bài tập vận dụng trên, bạn đã có thể tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá những kiến thức thú vị khác trên tusach.vn!