Bài 9 trang 21 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải bài tập về giới hạn lượng giác

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và phương pháp đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12m. Biết rằng hai sợi cáp trên cũng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15m (Hình 18)

Đề bài

a) Tính \(\tan \alpha \), ở đó \(\alpha \) là góc giữa hai sợi cáp trên

b) Tìm góc \(\alpha \) (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị theo đơn vị độ)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 2

Dựa vào công thức cộng để tính

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {AOB} = \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{14}}{{15}}\\\tan \beta = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

Ta có: \(\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AOB} - \beta } \right) = \frac{{\tan \widehat {AOB} - \tan \beta }}{{1 + \tan \widehat {AOB.}\tan \beta }} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}\)

b) \(\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}} \Rightarrow \alpha \approx {4^o}\)

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình học về giới hạn lượng giác. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số, đặc biệt là giới hạn của các hàm lượng giác. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn từng bước để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này.

Nội dung bài tập

Bài 9 yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim_x→0 (sin 2x / x)
lim_x→0 (tan x / x)
lim_x→π/4 (sin(x - π/4) / (x - π/4))
lim_x→0 (1 - cos x) / x²

Lời giải chi tiết

1. lim_x→0 (sin 2x / x)

Ta có thể sử dụng công thức lim_x→0 (sin ax / x) = a. Đặt 2x = t, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:

lim_x→0 (sin 2x / x) = lim_t→0 (sin t / (t/2)) = 2 * lim_t→0 (sin t / t) = 2 * 1 = 2

2. lim_x→0 (tan x / x)

Ta có thể viết tan x = sin x / cos x. Vậy:

lim_x→0 (tan x / x) = lim_x→0 (sin x / (x * cos x)) = lim_x→0 (sin x / x) * lim_x→0 (1 / cos x) = 1 * (1/1) = 1

3. lim_x→π/4 (sin(x - π/4) / (x - π/4))

Đặt t = x - π/4. Khi x → π/4 thì t → 0. Vậy:

lim_x→π/4 (sin(x - π/4) / (x - π/4)) = lim_t→0 (sin t / t) = 1

4. lim_x→0 (1 - cos x) / x²

Ta có thể sử dụng công thức lượng giác: 1 - cos x = 2sin²(x/2). Vậy:

lim_x→0 (1 - cos x) / x² = lim_x→0 (2sin²(x/2)) / x² = lim_x→0 2 * (sin(x/2) / x)² = 2 * (lim_x→0 sin(x/2) / x)²

Đặt t = x/2, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:

2 * (lim_x→0 sin(x/2) / x)² = 2 * (lim_t→0 sin t / (2t))² = 2 * (1/2)² = 2 * (1/4) = 1/2

Kết luận

Vậy, kết quả của các giới hạn là:

lim_x→0 (sin 2x / x) = 2
lim_x→0 (tan x / x) = 1
lim_x→π/4 (sin(x - π/4) / (x - π/4)) = 1
lim_x→0 (1 - cos x) / x² = 1/2

Mẹo giải nhanh

Để giải nhanh các bài tập về giới hạn lượng giác, bạn nên nhớ các công thức giới hạn cơ bản như:

lim_x→0 (sin x / x) = 1
lim_x→0 (tan x / x) = 1
lim_x→0 (1 - cos x) / x² = 1/2

Ngoài ra, việc sử dụng các phép biến đổi đại số và lượng giác một cách linh hoạt cũng rất quan trọng.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Tính lim_x→0 (sin 3x / x)
Tính lim_x→0 (1 + x)^1/x

Chúc bạn học tốt!