Bài 7 trang 31 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải quyết các bài toán về giới hạn lượng giác

Bài 7 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về giới hạn lượng giác để giải các bài toán cụ thể. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định lý và công thức liên quan đến giới hạn của hàm số lượng giác.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ông đựng nước cách mặt nước 2m.

Đề bài

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ông đựng nước cách mặt nước 2m.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Sử dụng các công thức liên quan tới hàm số sin

Lời giải chi tiết

Để ông đựng nước cách mặt nước 2m thì \(h = \left| y \right| = 2\)

Hay \(\left| {2,5.\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2} \right| = 2\)

Suy ra \(2,5.\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 2\) hoặc \(2,5.\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = - 2\)

*) \(2,5.\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 2\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi x - \frac{\pi }{2} = k\pi ,k \in Z\\ \Leftrightarrow 2x - \frac{1}{2} = k,k \in Z\\ \Leftrightarrow x = \frac{{2k + 1}}{4},k \in Z\\ \Leftrightarrow x \in \left\{ {....; - \frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{3}{4};....} \right\}\)

*)\(2,5.\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = - 2\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) = - 1,6\, < - 1\)

Vì tập giá trị của hàm số sin là \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.

Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn giải

Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn lượng giác. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim_x→0 (sin 2x / x)
lim_x→0 (tan x / x)
lim_x→π/4 (sin x - cos x)
lim_x→0 (1 - cos x) / x²

Lời giải chi tiết

1. lim_x→0 (sin 2x / x)

Ta có thể sử dụng công thức lim_x→0 (sin ax / x) = a. Đặt 2x = t, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:

lim_x→0 (sin 2x / x) = lim_t→0 (sin t / (t/2)) = 2 * lim_t→0 (sin t / t) = 2 * 1 = 2

2. lim_x→0 (tan x / x)

Ta có thể viết tan x = sin x / cos x. Vậy:

lim_x→0 (tan x / x) = lim_x→0 (sin x / (x * cos x)) = lim_x→0 (sin x / x) * lim_x→0 (1 / cos x) = 1 * (1/1) = 1

3. lim_x→π/4 (sin x - cos x)

Vì hàm số sin x và cos x liên tục tại x = π/4, ta có thể thay trực tiếp x = π/4 vào biểu thức:

lim_x→π/4 (sin x - cos x) = sin(π/4) - cos(π/4) = √2 / 2 - √2 / 2 = 0

4. lim_x→0 (1 - cos x) / x²

Ta có thể sử dụng công thức lượng giác: 1 - cos x = 2sin²(x/2). Vậy:

lim_x→0 (1 - cos x) / x² = lim_x→0 (2sin²(x/2)) / x² = lim_x→0 2 * (sin(x/2) / x)² = 2 * (lim_x→0 sin(x/2) / x)²

Đặt t = x/2, khi x → 0 thì t → 0. Vậy:

2 * (lim_x→0 sin(x/2) / x)² = 2 * (lim_t→0 sin t / (2t))² = 2 * (1/2)² = 2 * (1/4) = 1/2

Lưu ý khi giải bài tập

Nắm vững các công thức giới hạn lượng giác cơ bản.
Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng quen thuộc.
Kiểm tra điều kiện của giới hạn để đảm bảo tính hợp lệ của kết quả.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về giới hạn lượng giác, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và các tài liệu ôn tập khác.

Kết luận

Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về giới hạn lượng giác. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

Chúc các bạn học tốt!