Bài 4 trang 77 Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số

Bài 4 thuộc chương trình giải tích hàm số lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó: a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\) b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\) c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)

Đề bài

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\)

b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\)

c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 1

- Các hàm đa thức, hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

- Định lí tính liên tục của tổng của hai hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số x² và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)

Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 4 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra:

a) f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)
b) f(x) = -x² + 4x - 3 trên khoảng (0; 2)
c) f(x) = (x - 1)² trên khoảng (0; 1)

Hướng dẫn giải

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 (điểm dừng).
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

Giải chi tiết

a) f(x) = x³ - 3x² + 2

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Xét khoảng (-∞; 1), ta chọn x = 0. f'(0) = 0. Tuy nhiên, cần xét dấu của f'(x) trên khoảng (-∞; 0) và (0; 1).

Trên khoảng (-∞; 0), f'(x) > 0 nên f(x) đồng biến.
Trên khoảng (0; 1), f'(x) < 0 nên f(x) nghịch biến.

Vậy, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) f(x) = -x² + 4x - 3

f'(x) = -2x + 4

f'(x) = 0 khi x = 2

Xét khoảng (0; 2), ta chọn x = 1. f'(1) = -2 + 4 = 2 > 0 nên f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2).

c) f(x) = (x - 1)²

f'(x) = 2(x - 1)

f'(x) = 0 khi x = 1

Xét khoảng (0; 1), ta chọn x = 0.5. f'(0.5) = 2(0.5 - 1) = -1 < 0 nên f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Kết luận

Thông qua việc giải chi tiết bài 4 trang 77 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều, chúng ta đã nắm vững phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm. Việc hiểu rõ các bước thực hiện và áp dụng linh hoạt vào các bài tập tương tự sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Lưu ý:

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Chú ý đến các điểm dừng và khoảng mà hàm số không xác định.
Sử dụng bảng xét dấu để xác định dấu của đạo hàm một cách chính xác.

Tìm kiếm liên quan:

Giải bài 4 toán 11 cánh diều
Đáp án bài 4 toán 11 tập 1 cánh diều
Hướng dẫn giải bài 4 toán 11 cánh diều
Toán 11 cánh diều bài 4

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số. Chúc các em học tốt!