Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3: Hàm số liên tục - Lý thuyết và Bài tập

Trong chương trình Giải tích, khái niệm hàm số liên tục đóng vai trò then chốt. Nó là nền tảng cho nhiều định lý và ứng dụng quan trọng trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật khác. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hàm số liên tục, bao gồm định nghĩa, điều kiện, tính chất và các bài tập minh họa.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀: lim_x→x0f(x) tồn tại.
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀: lim_x→x0f(x) = f(x₀).

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại điểm x₀.

2. Các loại gián đoạn

Có ba loại gián đoạn thường gặp:

• Gián đoạn khử được: Giới hạn của hàm số tại điểm đó tồn tại nhưng khác với giá trị của hàm số tại điểm đó.
• Gián đoạn hữu hạn: Giới hạn của hàm số tại điểm đó tồn tại nhưng khác vô cùng.
• Gián đoạn vô cùng: Giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng vô cùng.

3. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

4. Tính chất của hàm số liên tục

Các hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng:

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Xét hàm số f(x) = (x² - 1) / (x - 1). Hàm số này có liên tục tại x = 1 không? Tại sao?

Giải: Hàm số f(x) không xác định tại x = 1. Do đó, hàm số không liên tục tại x = 1.

Bài 2: Xét hàm số g(x) = |x|. Hàm số này có liên tục tại x = 0 không? Tại sao?

Giải: lim_x→0^- |x| = 0 và lim_x→0⁺ |x| = 0. Hơn nữa, g(0) = |0| = 0. Do đó, hàm số g(x) liên tục tại x = 0.

6. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong vật lý: Mô tả chuyển động của các vật thể.
• Trong kinh tế: Phân tích cung cầu.
• Trong kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển.

Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn rõ ràng và đầy đủ về hàm số liên tục. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!