Lý Thuyết Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm - Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm - Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh Diều.

Đạo hàm là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu nhất về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {f + g} \right)' = f' + g';\\\left( {f - g} \right)' = f' - g';\\\left( {fg} \right)' = f'g + fg';\\\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\left( {g = g\left( x \right) \ne 0} \right).\end{array}\)

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Lý Thuyết Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm - Toán 11 Cánh Diều: Tổng Quan

Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nói cách khác, đạo hàm cho ta biết hàm số thay đổi nhanh hay chậm tại một điểm cụ thể.

Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm Cơ Bản

Để tính đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc sau:

Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: Nếu f(x) = xⁿ (n là số thực), thì f'(x) = n.x^n-1
Quy tắc đạo hàm của hàm số hằng: Nếu f(x) = c (c là hằng số), thì f'(x) = 0
Quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu: (u + v)' = u' + v' và (u - v)' = u' - v'
Quy tắc đạo hàm của tích: (u.v)' = u'.v + u.v'
Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'.v - u.v') / v²
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: Nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) . (du/dx)

Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 5

Áp dụng các quy tắc trên, ta có:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (5)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x)

Ta biết đạo hàm của sin(x) là cos(x). Do đó, f'(x) = cos(x)

Bảng Tổng Hợp Các Đạo Hàm Cơ Bản

Hàm số f(x)	Đạo hàm f'(x)
xⁿ	n.x^n-1
c (hằng số)	0
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1/cos²(x)
e^x	e^x
ln(x)	1/x

Ứng Dụng Của Đạo Hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó.
Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để tìm ra các giải pháp tối ưu cho các bài toán thực tế.

Bài Tập Áp Dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 4x³ - 5x² + x + 10
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos(2x)
Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = (x² + 1) / (x - 1)

Kết Luận

Lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Cánh Diều. Việc nắm vững các quy tắc này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đạo hàm một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.