Giải mục 3 trang 81, 82 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời

Lời giải chi tiết:

a) Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b \subset \left( P \right)\\a \bot c \subset \left( P \right)\\b\cap c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\)

b) Chỉ có 1 mặt phẳng duy nhất đi qua điểm O và vuông góc với a

Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời

Lời giải chi tiết:

Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Mà đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng a 

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?

Phương pháp giải:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhàu nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\\Delta \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \Delta \)

\(\left\{ \begin{array}{l}b \bot \left( R \right)\\\Delta \subset \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \Delta \)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot a \subset \left( R \right)\\\Delta \bot b \subset \left( R \right)\\a\cap b\end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)

b) Chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, \(a \bot (P)\). Giả sử điểm M thỏa mãn \(OM \bot (P)\). Chứng minh rằng \(M \in a\).

Phương pháp giải:

Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải chi tiết:

Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước nên nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap (P) = O\\a \bot (P)\\OM \bot (P)\end{array} \right. \Rightarrow M \in a\)