Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Toán 11 Cánh diều
Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá khái niệm đạo hàm, cách tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Nội dung được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
1. Định nghĩa
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Toán 11 Cánh diều
Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Trong chương trình Toán 11 Cánh Diều, học sinh sẽ được làm quen với định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của nó.
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 thuộc (a; b) được định nghĩa là giới hạn:
f'(x0) = limh→0 (f(x0 + h) - f(x0)) / h
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Ký hiệu f'(x0) còn được viết là y'(x0) hoặc df/dx(x0).
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm f'(x0) của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x0.
Nói cách khác, đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm cụ thể.
3. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản
- Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xn)' = nxn-1
- Đạo hàm của hàm số mũ: (ex)' = ex
- Đạo hàm của hàm số logarit: (ln x)' = 1/x
- Đạo hàm của hàm số lượng giác:
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = 1/cos2 x
- Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương: Các quy tắc này tương tự như trong giải tích.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 3x - 2
f'(x) = (x2)' + (3x)' - (2)' = 2x + 3 - 0 = 2x + 3
Ví dụ 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = sin x tại điểm có hoành độ x = π/2
y' = (sin x)' = cos x
y'(π/2) = cos(π/2) = 0
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = π/2 là 0.
5. Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Tìm cực trị của hàm số
- Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số
- Giải các bài toán tối ưu hóa
- Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý
6. Bài tập luyện tập
- Tính đạo hàm của các hàm số sau: f(x) = 5x3 - 2x + 1, g(x) = e2x + ln(x)
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = cos x tại điểm có hoành độ x = 0
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
