Lý Thuyết Toán 11 Cánh Diều: Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ & Logarit

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Phương trình, Bất phương trình mũ và Lôgarit - Toán 11 Cánh Diều

Chương trình Toán 11 Cánh Diều tập trung vào việc xây dựng nền tảng vững chắc về các khái niệm toán học quan trọng. Trong đó, phần Phương trình, Bất phương trình mũ và Lôgarit đóng vai trò then chốt, giúp học sinh làm quen với các công cụ toán học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán thực tế.

Tusach.vn cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu về lý thuyết này, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin trong các kỳ thi.

1. Phương trình mũ Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Với \(a > 0,a \ne 1\) thì

\({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\) với b >0;
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản ẩn x có dạng \({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\). Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Với \(a > 0,a \ne 1\) thì

\({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\).
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

3. Bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ \({a^x} > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\);

- Nếu b > 0, a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\);

- Nếu b > 0, 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\).

Các bất phương trình mũ cơ bản khác được giải tương tự.

4. Bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình lôgarit \({\log _a}x > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {a^b}\).

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < \({a^b}\).

Các bất phương trình lôgarit cơ bản khác được giải tương tự.

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều 1

Lý Thuyết Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ và Lôgarit - Toán 11 Cánh Diều: Tổng Quan

Chương trình Toán 11 Cánh Diều, đặc biệt là phần Phương trình, Bất phương trình mũ và Lôgarit, là một bước tiến quan trọng trong việc xây dựng nền tảng toán học vững chắc cho học sinh. Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là tiền đề cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo và trong các kỳ thi quan trọng.

1. Phương Trình Mũ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Để giải phương trình mũ, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số.
Lấy lôgarit hai vế: Sử dụng các tính chất của lôgarit để đơn giản hóa phương trình.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp giải quyết phương trình một cách dễ dàng hơn.

Ví dụ: Giải phương trình 2^x = 8

Ta có 8 = 2³, vậy phương trình trở thành 2^x = 2³. Suy ra x = 3.

2. Bất Phương Trình Mũ

Bất phương trình mũ tương tự như phương trình mũ, nhưng thay vì dấu bằng, chúng ta có các dấu bất đẳng thức (>, <, ≥, ≤). Khi giải bất phương trình mũ, cần chú ý đến việc đổi dấu bất đẳng thức khi lấy lôgarit hai vế (nếu cơ số nhỏ hơn 1).

Ví dụ: Giải bất phương trình 3^x > 9

Ta có 9 = 3², vậy bất phương trình trở thành 3^x > 3². Suy ra x > 2.

3. Lôgarit

Lôgarit là phép toán ngược của lũy thừa. Lôgarit cơ số a của một số b (ký hiệu là log_ab) là số x sao cho a^x = b. Các tính chất quan trọng của lôgarit bao gồm:

log_a(xy) = log_ax + log_ay
log_a(x/y) = log_ax - log_ay
log_a(xⁿ) = n log_ax

Ví dụ: Tính log₂8

Ta có 2³ = 8, vậy log₂8 = 3.

4. Phương Trình và Bất Phương Trình Lôgarit

Để giải phương trình và bất phương trình lôgarit, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa cả hai vế của phương trình hoặc bất phương trình về cùng một cơ số.
Sử dụng các tính chất của lôgarit: Áp dụng các tính chất của lôgarit để đơn giản hóa phương trình hoặc bất phương trình.
Kiểm tra điều kiện xác định: Luôn kiểm tra điều kiện xác định của lôgarit (cơ số phải dương và khác 1, biểu thức bên trong lôgarit phải dương).

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Ta có x + 1 = 2³ = 8. Suy ra x = 7. Kiểm tra điều kiện xác định: x + 1 > 0, tức là x > -1. Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình.

5. Mối Quan Hệ Giữa Phương Trình Mũ và Phương Trình Lôgarit

Phương trình mũ và phương trình lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Chúng ta có thể chuyển đổi một phương trình mũ thành phương trình lôgarit và ngược lại để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

Giải phương trình 5^x = 125
Giải bất phương trình 2^x < 16
Tính log₃27
Giải phương trình log₂(x - 2) = 4

Kết Luận

Lý thuyết Phương trình, Bất phương trình mũ và Lôgarit là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Cánh Diều. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Tusach.vn hy vọng rằng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành hữu ích trên con đường học tập của bạn.