Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số

Bài 6 thuộc chương trình giải tích hàm số lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Đề bài

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2},\), C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4},...\)

Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 2

Chu vi hình tròn \(C = \pi d\)

Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì C_n là nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}}\) nên ta có \({p_n} = \frac{1}{2}{.2^n}.\frac{{AB}}{{{2^n}}}.\pi = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi = \pi R\)

Đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}} = \frac{{2R}}{{{2^n}}}\) nên bánh kính \(\frac{R}{{{2^n}}}\)

\({S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

b) \(\begin{array}{l}\lim {p_n} = \lim \left( {\pi R} \right) = \pi R\\\lim {S_n} = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}} = \lim \left[ {\frac{{\pi {R^2}}}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\end{array}\)

Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 6 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) y = x³ - 3x² + 2
b) y = -x³ + 3x² - 5
c) y = x⁴ - 4x² + 4
d) y = (x - 1)²(x + 2)

Phương pháp giải

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm y' của hàm số.
Tìm tập xác định của hàm số.
Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết

a) y = x³ - 3x² + 2

y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) y = -x³ + 3x² - 5

y' = -3x² + 6x = -3x(x - 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

x	-∞	0	2	+∞
y'	-	+	-
y	↘	↗	↘

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), đồng biến trên khoảng (0; 2).

c) y = x⁴ - 4x² + 4

y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2)

y' = 0 ⇔ x = 0, x = √2, x = -√2

Bảng biến thiên (tương tự như trên, bạn tự lập)

d) y = (x - 1)²(x + 2)

y = (x² - 2x + 1)(x + 2) = x³ - 2x² + x + 2x² - 4x + 2 = x³ - 3x + 2

y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1)

y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

Bảng biến thiên (tương tự như trên, bạn tự lập)

Lưu ý

Khi giải bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý:

Tính đạo hàm chính xác.
Giải phương trình y' = 0 một cách cẩn thận.
Lập bảng biến thiên đầy đủ và chính xác.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số dựa trên bảng biến thiên.

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều. Chúc bạn học tốt!