Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều

Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là bài tập thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau: a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

Đề bài

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)

b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết

a) \(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 = - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)
lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)
lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x

Lời giải chi tiết

a) lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Do đó: lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1

b) lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)

Ta có: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

Do đó: lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x + 1)(x² - x + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x² - x + 1) = (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

c) lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x

Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số: (√(x+1) + 1)

lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x = lim_x→0 [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 x / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

Kết luận

Vậy:

lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2) = 1
lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1) = 3
lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x = 1/2

Mẹo giải nhanh

Khi gặp các bài toán tính giới hạn có dạng vô định, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn.
Nhân tử và mẫu với liên hợp của tử hoặc mẫu.
Sử dụng các định lý về giới hạn.

Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về giới hạn, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. tusach.vn cung cấp đầy đủ các bài giải và hướng dẫn chi tiết cho các bài tập Toán 11.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 1 - Cánh Diều và tự tin giải các bài tập tương tự.