Bài 2: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng - Lý Thuyết và Bài Tập
Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, bài học về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và các bài tập minh họa, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
I. Khái Niệm Cơ Bản
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để xác định tính vuông góc này, chúng ta cần hiểu rõ về:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Là một vectơ song song với đường thẳng.
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương u của d cùng phương với vectơ pháp tuyến n của (P). Tức là, u = kn, với k là một số thực khác 0.
II. Phương Pháp Giải Bài Tập
Để giải các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Dựa vào phương trình mặt phẳng, ta có thể dễ dàng xác định vectơ pháp tuyến.
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Dựa vào phương trình đường thẳng, ta có thể xác định vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra điều kiện vuông góc: So sánh vectơ chỉ phương của đường thẳng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu chúng cùng phương, thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
III. Bài Tập Minh Họa
Bài tập 1: Cho mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 và đường thẳng d có phương trình tham số: x = 1 + t y = -2 + 2t z = 3 - t Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (1, 2, -1).
- Ta thấy u = (1, 2, -1) và n = (2, -1, 1) không cùng phương. Tuy nhiên, nếu ta nhân n với -1/2 ta được (-1, 1/2, -1/2) không bằng u. Vậy đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài tập 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng d: x = mt, y = 2t, z = (m+1)t vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - z + 5 = 0.
Giải:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1, 1, -1).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (m, 2, m+1).
- Để d vuông góc với (P), u phải cùng phương với n. Do đó, ta có: m/1 = 2/1 = (m+1)/(-1).
- Từ m/1 = 2/1 suy ra m = 2.
- Từ 2/1 = (m+1)/(-1) suy ra m+1 = -2, hay m = -3.
- Vì không có giá trị m nào thỏa mãn cả hai phương trình, nên không có giá trị m nào để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
IV. Lưu Ý Quan Trọng
Khi giải các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn cần chú ý:
- Kiểm tra kỹ điều kiện vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Sử dụng đúng công thức và phương pháp giải.
- Đảm bảo các vectơ được biểu diễn đúng và tính toán chính xác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc bạn học tập tốt!
