Bài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh Diều - Giải chi tiết, nhanh nhất

Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 Tập 1 Cánh Diều

Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 Tập 1 Cánh Diều thuộc chương 1: Hàm số lượng giác và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải các bài toán liên quan đến tìm tập xác định, tập giá trị, và tính chất của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.

Lời giải chi tiết

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)

\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)

Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)

Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)

Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)

\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)

Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)

Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.

Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 Tập 1 Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 Tập 1 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 8 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

Xác định tập xác định của hàm số y = cos(x).
Tìm tập giá trị của hàm số y = cos(x).
Xác định tính chất chẵn, lẻ của hàm số y = cos(x).
Vẽ đồ thị hàm số y = cos(x).

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định:

Hàm số y = cos(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc tập số thực. Do đó, tập xác định của hàm số là D = ℝ.

2. Tập giá trị:

Vì -1 ≤ cos(x) ≤ 1 với mọi x thuộc ℝ, nên tập giá trị của hàm số y = cos(x) là [-1, 1].

3. Tính chất chẵn, lẻ:

Ta có: cos(-x) = cos(x) với mọi x thuộc ℝ. Do đó, hàm số y = cos(x) là hàm số chẵn.

4. Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = cos(x) là một đường cong lượn sóng, có các đặc điểm sau:

Giao điểm với trục Oy tại điểm (0, 1).
Giao điểm với trục Ox tại các điểm (π/2 + kπ, 0) với k là số nguyên.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 tại các điểm (2kπ, 1) với k là số nguyên.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -1 tại các điểm ((2k+1)π, -1) với k là số nguyên.

Mở rộng và lưu ý

Để hiểu rõ hơn về hàm số cosin, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa hàm số cosin.
Các tính chất cơ bản của hàm số cosin (tập xác định, tập giá trị, tính chất chẵn, lẻ, tính tuần hoàn).
Cách vẽ đồ thị hàm số cosin.

Ngoài ra, học sinh cũng nên luyện tập thêm các bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng giải bài tập và nắm vững kiến thức đã học.

Tài liệu tham khảo

Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán 11:

Sách giáo khoa Toán 11 Tập 1 Cánh Diều.
Sách bài tập Toán 11 Tập 1 Cánh Diều.
Các trang web học Toán trực tuyến uy tín như tusach.vn.

Kết luận: Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 Tập 1 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, học sinh có thể giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.