Bài 3. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 3: Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit - Tổng Quan

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 12. Chúng xuất hiện thường xuyên trong các bài toán về tăng trưởng, suy giảm, và nhiều lĩnh vực khoa học khác. Việc nắm vững kiến thức về hai hàm số này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp và hiểu sâu hơn về thế giới xung quanh.

I. Hàm Số Mũ

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng y = a^x, trong đó:

• a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1)
• x là biến số thực

Ví dụ: y = 2^x, y = (1/2)^x, y = e^x (e là cơ số của logarit tự nhiên)

2. Tính chất

• Hàm số mũ luôn xác định trên tập số thực ℝ.
• Nếu a > 1, hàm số mũ là hàm số đồng biến (tăng).
• Nếu 0 < a < 1, hàm số mũ là hàm số nghịch biến (giảm).
• Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua điểm (0, 1).

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2^x

Hướng dẫn: Lập bảng giá trị của x và y, sau đó vẽ đồ thị dựa trên các điểm đã tính.

II. Hàm Số Lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số lôgarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Hàm số lôgarit có dạng y = log_ax, trong đó:

• a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1)
• x là một số thực dương (x > 0)

Ví dụ: y = log₂x, y = log₁₀x, y = ln x (logarit tự nhiên)

2. Tính chất

• Hàm số lôgarit chỉ xác định với x > 0.
• Nếu a > 1, hàm số lôgarit là hàm số đồng biến (tăng).
• Nếu 0 < a < 1, hàm số lôgarit là hàm số nghịch biến (giảm).
• Đồ thị hàm số lôgarit luôn đi qua điểm (1, 0).

3. Các công thức lôgarit quan trọng

• log_a(xy) = log_ax + log_ay
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay
• log_a(xⁿ) = n log_ax
• log_aa = 1
• log_a1 = 0

III. Mối quan hệ giữa Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Chúng là hai mặt của một đồng xu. Nếu y = a^x thì x = log_ay và ngược lại.

IV. Ứng dụng của Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tăng trưởng dân số: Mô hình tăng trưởng dân số thường sử dụng hàm số mũ.
• Phân rã phóng xạ: Quá trình phân rã phóng xạ được mô tả bằng hàm số mũ.
• Lãi kép: Tính toán lãi kép sử dụng hàm số mũ.
• Đo cường độ âm thanh: Cường độ âm thanh được đo bằng decibel (dB) sử dụng hàm số lôgarit.
• Đo độ pH: Độ pH của một dung dịch được tính bằng hàm số lôgarit.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau:

1. Giải phương trình: 2^x = 8
2. Giải phương trình: log₃(x + 2) = 2
3. Tính giá trị của biểu thức: log₂16 + log₃9

Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!