Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều | Giải chi tiết & Chính xác

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là bài tập thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)), biết:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\)

b) \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\)

c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Dựa vào định nghĩa tính tăng, giảm của dãy số để xác định

Lời giải chi tiết

a) Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

=> Dãy số là dãy số tăng

b) Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

=> Dãy số là dãy số giảm

c) Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)

=> Dãy số không tăng không giảm

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này, được cung cấp bởi tusach.vn.

Nội dung bài tập

Bài 3 yêu cầu học sinh tính các giới hạn sau:

lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)
lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)
lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x

Lời giải chi tiết

1. Tính lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Do đó:

lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1

2. Tính lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)

Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

Do đó:

lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x + 1)(x² - x + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x² - x + 1) = (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

3. Tính lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x

Để tính giới hạn này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:

lim_x→0 (√(x+1) - 1) / x = lim_x→0 [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 x / [x(√(x+1) + 1)] = lim_x→0 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn, cần chú ý đến các dạng giới hạn cơ bản và các phương pháp như phân tích thành nhân tử, nhân với liên hợp.
Luôn kiểm tra xem mẫu thức có bằng 0 hay không khi x tiến tới một giá trị cụ thể.

Ứng dụng của bài tập

Việc giải bài tập này giúp học sinh:

Hiểu rõ khái niệm giới hạn của hàm số.
Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn bằng các phương pháp khác nhau.
Chuẩn bị cho các bài tập và ứng dụng phức tạp hơn trong chương trình học.

tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và tự tin hơn trong quá trình học tập. Hãy truy cập tusach.vn để xem thêm nhiều bài giải Toán 11 khác!

Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều