Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\).
a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.
b) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
b) + Sử dụng kiến thức về của hàm số để tính:
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g\left( x \right) = - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = - \infty \)
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty \)
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = M\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\)
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\) (với c là hằng số, k là số nguyên dương)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số f(x) xác định khi \(x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\). Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} = + \infty \)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] = + \infty \)
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] = - \infty \)
