Chương 8. Quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Chương này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về các khái niệm, định lý và ứng dụng của quan hệ vuông góc.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

• Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với hình chiếu của d trên (P) đều vuông góc với d.
• Định lý 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

2. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng.

• Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (Q).

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta sử dụng công thức: sin(α) = d(A, (P)) / AD, trong đó:

• α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
• A là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d
• d(A, (P)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
• AD là độ dài đoạn thẳng nối điểm A với hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nằm trong mỗi mặt phẳng. Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng các định lý về đường vuông góc chung và các tam giác vuông.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
2. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
3. Tam giác SAC vuông tại A, suy ra góc SCA là góc giữa SC và (ABCD).
4. tan(SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
5. Vậy, góc SCA ≈ 35.26°.

6. Ứng dụng của quan hệ vuông góc trong không gian

Kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Kiến trúc và xây dựng: Đảm bảo tính vuông góc và ổn định của các công trình.
• Kỹ thuật cơ khí: Thiết kế và chế tạo các chi tiết máy có độ chính xác cao.
• Đo đạc và bản đồ: Xác định vị trí và độ cao của các đối tượng trên mặt đất.

Hy vọng rằng chương 8 này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.