Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau:
a) \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\);
b) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\);
c) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải chi tiết
a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 13}}{{3\left( {n + 1} \right) - 2}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}}\), suy ra: \( - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)\( = \frac{{{n^2} + 5n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {{n^2} + 5n + 5} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {{n^2} + 3n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}} > \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}} = n + 1 \ge 2\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới.
c) Ta có: \({u_n} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}}}\)\( = \sqrt {\frac{{1 + n + {n^2}}}{{{n^2} + 3n + 3}}} < 1\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lại có: \(n \ge 1,{n^2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow {n^2} + n + 1 \ge 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }} \le \frac{1}{3}\;\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(0 < \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
