Bài 2: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng - Lý Thuyết và Bài Tập
Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, bài học về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò then chốt. Hiểu rõ các khái niệm và định lý liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách chính xác và nhanh chóng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về chủ đề này, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện.
1. Điều Kiện Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với ít nhất một đường thẳng nằm trong (P).
2. Tính Chất Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
- Tính chất 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng song song với d cũng vuông góc với (P).
- Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng d vuông góc với (P) thì d cũng vuông góc với (Q).
3. Vectơ Pháp Tuyến của Mặt Phẳng
Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Nếu mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ n = (A, B, C) là một vectơ pháp tuyến của (P).
4. Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có:
sin(φ) = |cos(d, n)|, trong đó n là vectơ pháp tuyến của (P) và d là vectơ chỉ phương của d.
5. Bài Tập Minh Họa
Bài tập 1: Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 1 = 0 và đường thẳng d có phương trình tham số: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t. Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (2, -1, 3). Vectơ chỉ phương của d là u = (1, -1, 2). Ta có n.u = 2*1 + (-1)*(-1) + 3*2 = 2 + 1 + 6 = 9 ≠ 0. Vậy đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài tập 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: x = t, y = 1 + 2t, z = 2 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 5 = 0.
Giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1, 1, 1). Vectơ chỉ phương của d là u = (1, 2, -1). Ta có cos(d, n) = (1*1 + 2*1 + (-1)*1) / (√(1^2 + 1^2 + 1^2) * √(1^2 + 2^2 + (-1)^2)) = 2 / (√3 * √6) = 2 / √18 = 1 / 3. Vậy sin(φ) = √(1 - (1/3)^2) = √(8/9) = 2√2 / 3. Suy ra φ ≈ 70.53°.
6. Luyện Tập Thêm
Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Tusach.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài tập và lời giải chi tiết để hỗ trợ bạn trong quá trình học tập.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!
