Đề bài
Giải các bất phương trình sau:
a) \({\log _3}\left( {x + 4} \right) < 2\);
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4\);
c) \({\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1\);
d) \({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\);
e) \(2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)\);
g) \(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình lôgarit để giải bất phương trình:
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:
Bất phương trình | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
\({\log _a}x > b\) | \(x > {a^b}\) | \(0 < x < {a^b}\) |
\({\log _a}x \ge b\) | \(x \ge {a^b}\) | \(0 < x \le {a^b}\) |
\({\log _a}x < b\) | \(0 < x < {a^b}\) | \(x > {a^b}\) |
\({\log _a}x \le b\) | \(0 < x \le {a^b}\) | \(x \ge {a^b}\) |
Chú ý:
+ Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) > v\left( x \right)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: \(x + 4 > 0 \) \( \Leftrightarrow x > - 4\)
\({\log _3}\left( {x + 4} \right) < 2 \) \( \Leftrightarrow x + 4 < {3^2} \) \( \Leftrightarrow x < 5\)
Kết hợp với ĐK ta có: \( - 4 < x < 5\)
b) Điều kiện: \(x > 0\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4 \) \( \Leftrightarrow x \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \) \( \Leftrightarrow x \le \frac{1}{{16}}\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 < x \le \frac{1}{{16}}\).
c) Điều kiện: \(x - 1 > 0 \) \( \Leftrightarrow x > 1\)
\({\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1 \) \( \Leftrightarrow x - 1 \ge 0,{25^{ - 1}} \) \( \Leftrightarrow x - 1 \ge 4 \) \( \Leftrightarrow x \ge 5\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(x \ge 5\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge 5\)
d) Điều kiện: \({x^2} - 24x > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 24\end{array} \right.\)
\({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2} \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 25} \right) \ge 0\)\( \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge 25;x \le - 1\)
e) \(2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\left( {**} \right)\\{\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)\left( * \right)\end{array} \right.\)
(*)\( \) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3x + 7 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 3x - 7 \le 0 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0\)
\( \) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0 \) \( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)
Kết hợp với (**) ta có: \( - 1 < x \le 3\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x \le 3\)
g) Điều kiện: \(x > - 1\)
\(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\)
\( \) \( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3\left( {x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 3x + 21\)
\( \) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) \le 0 \) \( \Leftrightarrow - 4 \le x \le 5\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 1 < x \le 5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x \le 5\)
