Chương 7. Đạo hàm

Chương 7: Đạo hàm - Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Đạo hàm là một khái niệm trung tâm trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Hiểu rõ đạo hàm là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a, ký hiệu là f'(a), được định nghĩa là giới hạn:

f'(a) = lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại x = a.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(a) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm (a, f(a)). Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng và xu hướng của đồ thị hàm số.

3. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

Để tính đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc sau:

• Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = n*x^n-1
• Quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
• Quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và logarit: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x
• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương: Các quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của các hàm số phức tạp từ các hàm số đơn giản.

4. Đạo hàm của các hàm số hợp

Nếu y = f(u) và u = g(x), thì đạo hàm của y theo x được tính bằng quy tắc chuỗi:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Quy tắc chuỗi là một công cụ mạnh mẽ để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.

5. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị.
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm giúp xác định khoảng tăng, khoảng giảm của hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một miền xác định.
• Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

Giải: f'(x) = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(2x)

Giải: g'(x) = 2cos(2x)

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. tusach.vn cung cấp một loạt các bài tập đạo hàm với đáp án chi tiết để bạn có thể tự kiểm tra và củng cố kiến thức của mình.

Bảng tổng hợp các công thức đạo hàm thường gặp:

Hy vọng với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Chương 7: Đạo hàm và có thể áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.