Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, \(SA \) \( = a\sqrt 3 \) và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:
a) SB và (ABCD);
b) SC và (ABCD);
c) SD và (ABCD);
d) SB và (SAC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng \({90^0}\).
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Lời giải chi tiết
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
a) Ta có: \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SB,AB} \right) \) \( = \widehat {SBA}\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AB\). Do đó, tam giác SBA vuông tại A.
Suy ra: \(\tan \widehat {SBA} \) \( = \frac{{SA}}{{AB}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} \) \( = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \widehat {SBA} \) \( = {60^0}\)
b) Ta có: \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SC,AC} \right) \) \( = \widehat {SCA}\)
Vì ABCD là hình vuông nên tam giác ACD vuông tại D.
Suy ra: \(AC \) \( = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} \) \( = a\sqrt 2 \) (định lí Pythagore)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AC\). Do đó, tam giác SCA vuông tại A.
Suy ra: \(\tan \widehat {SCA} \) \( = \frac{{SA}}{{AC}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 2 }} \) \( = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \) \( \Rightarrow \widehat {SCA} \) \( = 50,{8^0}\)
c) Ta có: \(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) \) \( = \left( {SD,AD} \right) \) \( = \widehat {SDA}\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot AD\). Do đó, tam giác SDA vuông tại A.
Suy ra: \(\tan \widehat {SDA} \) \( = \frac{{SA}}{{AD}} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} \) \( = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \widehat {SDA} \) \( = {60^0}\)
d) Vì ABCD là hình vuông nên \(BO \bot AC\)
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \) \( \Rightarrow SA \bot BO\) nên \(BO \bot \left( {SAC} \right)\)
Do đó, O là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC)
Do đó, \(\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) \) \( = \left( {SB,SO} \right) \) \( = \widehat {BSO}\)
Tam giác SAB vuông tại A nên \(SB \) \( = \sqrt {A{B^2} + S{A^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} \) \( = 2a\) (định lí Pythagore)
Vì ABCD là hình vuông nên \(OB \) \( = \frac{1}{2}AC \) \( = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SBO vuông tại O nên \(\sin \widehat {BSO} \) \( = \frac{{OB}}{{SB}} \) \( = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.2a}} \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \) \( \Rightarrow \widehat {BSO} \approx 20,{7^0}\)
