Đề bài
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng \(y = - x + 2\);
b) Vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x - 4\);
c) Đi qua điểm A(0; 1).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y - y\left( {{x_0}} \right) = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Với \({x_0}\) bất kì ta có: \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 1 - x_0^3 + 2x_0^2 - 1}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) - 2\left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2{x_0} - 2x} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2{x_0} - 2x} \right) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 - 4{x_0} = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 - 4{x_0} = 3x_0^2 - 4{x_0}\)
Vậy \(y'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x\)
a) Tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng \(y = - x + 2\) nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 4{x_0} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = 0,y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{22}}{{27}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = 1\) là:
\(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - x + 1\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = \frac{1}{3}\) là:
\(y = y'\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \frac{{22}}{{27}} = - x + \frac{{31}}{{27}}\)
b) Tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 2\) nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 4{x_0} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 2}}{3}\\{x_0} = 2\end{array} \right.\)
Lại có \(y\left( 2 \right) = 1,y\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = \frac{{ - 5}}{{27}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = 2\) là:
\(y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + y\left( 2 \right) = 4\left( {x - 2} \right) + 1 = 4x - 7\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = \frac{{ - 2}}{3}\) là:
\(y = y'\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + y\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = 4\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{ - 5}}{{27}} = 4x + \frac{{67}}{{27}}\)
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) tại điểm \({x_0}\) có phương trình là:
\(y - y\left( {{x_0}} \right) = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 2x_0^2 + 1\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) nên:
\(1 = \left( {3x_0^2 - 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 2x_0^2 + 1\)\( \Leftrightarrow - 3x_0^3 + 4x_0^2 + x_0^3 - 2x_0^2 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow 2x_0^2\left( {{x_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 0\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = 1\) thì \(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 4.1 = - 1,y\left( 1 \right) = 0\). Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: \(y = y'\left( 1 \right).\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 0 = - x + 1\)
Với \({x_0} = 0\) thì \(f'\left( 0 \right) = {3.0^2} - 4.0 = 0,f\left( 0 \right) = 1\). Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: \(y = y'\left( 0 \right).\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) = 0\left( {x - 0} \right) + 1 = 1\)
