Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2: Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân - Tổng quan và hướng dẫn

Chương 2 của chương trình Toán học THPT là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, cung cấp cho học sinh những công cụ cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế và phát triển tư duy logic.

1. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

• Dãy số hữu hạn: Có số lượng phần tử xác định. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5
• Dãy số vô hạn: Có số lượng phần tử không xác định. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, ...

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước. Công thức tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• d là công sai

Ví dụ: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14 là một cấp số cộng với u₁ = 2 và d = 3.

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi (tỉ số). Công thức tổng quát của cấp số nhân là:

u_n = u₁ * q^{(n - 1)}

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• q là tỉ số

Ví dụ: Dãy số 3, 6, 12, 24, 48 là một cấp số nhân với u₁ = 3 và q = 2.

4. Ứng dụng của Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính lãi kép: Cấp số nhân được sử dụng để tính lãi kép trong ngân hàng và tài chính.
• Mô tả sự tăng trưởng hoặc suy giảm: Dãy số và cấp số cộng/nhân có thể được sử dụng để mô tả sự tăng trưởng dân số, sự suy giảm của một chất phóng xạ, v.v.
• Giải các bài toán về hình học: Các khái niệm này có thể được áp dụng để giải các bài toán về diện tích, thể tích, chu vi, v.v.

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 2 và công sai là 3.

Giải:u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29

Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 và tỉ số là 2.

Giải:u₅ = u₁ * q^{(5 - 1)} = 1 * 2⁴ = 16

Chương 2: Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân là một chương quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán và ứng dụng toán học vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.