Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn - Hàm số liên tục

Chương 3 trong chương trình Giải tích là nền tảng cho việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, tích phân và phương trình vi phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn và tính liên tục là vô cùng quan trọng đối với sinh viên và những người làm việc trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

1. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Có hai loại giới hạn chính:

• Giới hạn hữu hạn: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới một số thực L.
• Giới hạn vô cùng: Khi x tiến tới a, f(x) tăng hoặc giảm vô hạn.

2. Các tính chất của giới hạn

Việc tính toán giới hạn trở nên dễ dàng hơn khi chúng ta nắm vững các tính chất sau:

• lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) / g(x)] = (lim_x→a f(x)) / (lim_x→a g(x)) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường gặp mà chúng ta cần nắm vững:

• Giới hạn của đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
• Giới hạn của phân thức hữu tỉ: Cần xét các trường hợp để khử dạng vô định.
• Giới hạn của hàm lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác và giới hạn đặc biệt.

4. Hàm số liên tục

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

1. f(x₀) xác định.
2. lim_x→x0 f(x) tồn tại.
3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

Hàm số liên tục trên một khoảng là hàm số liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

5. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Giới hạn và tính liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính tốc độ thay đổi của một đại lượng.
• Xấp xỉ giá trị của một hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: lim_x→2 (x² + 3x - 1) = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² tại x = 1

Giải: f(1) = 1² = 1. lim_x→1 x² = 1² = 1. Vì lim_x→1 f(x) = f(1), nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về Chương 3: Giới hạn - Hàm số liên tục. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!