Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \sin \left( {{{50}^0} - x} \right)\);
b) \(8{\sin ^3}x + 1 = 0\);
c) \(\left( {\sin x + 3} \right)\left( {\cot x - 1} \right) = 0\);
d) \(\tan \left( {x - {{30}^0}} \right) - \cot {50^0} = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình:
a) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\cos u = \cos {a^0} \Leftrightarrow u = {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
c) + Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\).
+ Với mọi số thực m, phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(\cot \alpha = m\).
d) Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \sin \left( {{{50}^0} - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \cos \left[ {{{90}^0} - \left( {{{50}^0} - x} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + {10^0} = {40^0} + x + k{360^0}\\2x + {10^0} = - \left( {{{40}^0} + x} \right) + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30^0} + k{360^0}\\x = \frac{{ - {{50}^0}}}{3} + k{120^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = {30^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{ - {{50}^0}}}{3} + k{120^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(8{\sin ^3}x + 1 = 0 \) \( \Leftrightarrow {\sin ^3}x = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^3} \) \( \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2} \) \( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{{ - \pi }}{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(\left( {\sin x + 3} \right)\left( {\cot x - 1} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \cot x = 1\) (do \(\sin x + 3 > 1\) với mọi số thực x)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\tan \left( {x - {{30}^0}} \right) - \cot {50^0} = 0 \) \( \Leftrightarrow \tan \left( {x - {{30}^0}} \right) = \cot {50^0} \) \( \Leftrightarrow \tan \left( {x - {{30}^0}} \right) = \tan {40^0}\)
\( \Leftrightarrow x - {30^0} = {40^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = {70^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = {70^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
