Giải bài 1 trang 30 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

b) \(\cos \left( {2x - {{30}^0}} \right) = - 1\);

c) \(3\sin \left( { - 2x + {{17}^0}} \right) = 4\);

d) \(\cos \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \cos \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right)\);

e) \(\sqrt 3 \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0\);

g) \(\cot \left( {\frac{x}{3} + \frac{{2\pi }}{5}} \right) = \cot \frac{\pi }{5}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\cos \left( {2x - {{30}^0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - {30^0} = {180^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = {105^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = {105^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3\sin \left( { - 2x + {{17}^0}} \right) = 4 \Leftrightarrow \sin \left( { - 2x + {{17}^0}} \right) = \frac{4}{3}\)

Vì \(\sin \left( { - 2x + {{17}^0}} \right) < 1\) với mọi số thực x nên phương trình đã cho vô nghiệm.

d) \(\cos \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \cos \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

e) \(\sqrt 3 \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

g) \(\cot \left( {\frac{x}{3} + \frac{{2\pi }}{5}} \right) = \cot \frac{\pi }{5} \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{\pi }{5} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{5} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{ - 3\pi }}{5} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)