Bài 3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:

• u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
  • S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
  • S_n = n.a nếu q = 1

3. Ví dụ minh họa

Xét cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 3. Khi đó:

• u₂ = 2 * 3 = 6
• u₃ = 6 * 3 = 18
• u₄ = 18 * 3 = 54

Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S₄ = 2(1 - 3⁴) / (1 - 3) = 2(-80) / (-2) = 80

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 5 và q = -2. Tính u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = 5 * (-2)⁴ = 5 * 16 = 80
• S₅ = 5(1 - (-2)⁵) / (1 - (-2)) = 5(1 - (-32)) / 3 = 5 * 33 / 3 = 55

Bài 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân biết u₁ = 3 và u₄ = 24.

Giải:

Ta có u₄ = u₁ * q³ => 24 = 3 * q³ => q³ = 8 => q = 2

Vậy u₁₀ = u₁ * q⁹ = 3 * 2⁹ = 3 * 512 = 1536

5. Lưu ý quan trọng

Khi làm bài tập về cấp số nhân, cần chú ý:

• Xác định đúng u₁ và q.
• Sử dụng đúng công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên.
• Kiểm tra điều kiện của q để áp dụng công thức phù hợp.

6. Tổng kết

Bài 3. Cấp số nhân cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân. Hãy truy cập tusach.vn để học thêm nhiều kiến thức Toán 11 hữu ích khác!