Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - Tổng quan và lý thuyết

Trong chương trình Toán 10, Bài 2. Giới hạn của hàm số đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng cho các khái niệm giải tích cao cấp hơn. Bài học này tập trung vào việc làm quen với ý tưởng về giới hạn, cách biểu diễn và các tính chất cơ bản của nó.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Điều này có nghĩa là khi x càng gần a, thì f(x) càng gần một giá trị cụ thể nào đó.

2. Các loại giới hạn

• Giới hạn hữu hạn: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới một số thực L.
• Giới hạn vô cùng: Khi x tiến tới a, f(x) tăng hoặc giảm không giới hạn.

3. Tính chất của giới hạn

Việc nắm vững các tính chất của giới hạn giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và chứng minh các bài toán liên quan. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

• lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) / g(x)] = (lim_x→a f(x)) / (lim_x→a g(x)) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

4. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường xuất hiện trong các bài toán, đòi hỏi các kỹ thuật giải quyết khác nhau:

• Giới hạn của đa thức: Thay trực tiếp giá trị của x vào đa thức.
• Giới hạn của phân thức hữu tỷ: Cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn.
• Giới hạn vô cùng: Sử dụng các kỹ thuật như chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Thay x = 2 vào biểu thức, ta được: 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9. Vậy lim_x→2 (x² + 3x - 1) = 9.

Ví dụ 2: Tính lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1)

Giải: Phân tích tử thành nhân tử: (x² - 1) = (x - 1)(x + 1). Vậy lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1) = lim_x→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2.

Bài tập vận dụng

1. Tính lim_x→3 (2x² - 5x + 1)
2. Tính lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)
3. Tính lim_x→∞ (3x² + 2x - 5) / (x² + 1)

Lưu ý: Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của giới hạn là rất quan trọng. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này. tusach.vn cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết và bài tập đa dạng để bạn có thể tự học và nâng cao trình độ.

Chúc bạn học tốt!