Bài 3. Hàm số mũ Hàm số lôgarit

Bài 3: Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit - Tổng Quan

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Chúng xuất hiện thường xuyên trong các bài toán về tăng trưởng, suy giảm, và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1. Hàm Số Mũ

Hàm số mũ có dạng y = a^x, trong đó a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1). Hàm số mũ có những tính chất quan trọng sau:

• Tập xác định: ℝ (tập hợp tất cả các số thực)
• Chiều biến thiên:
  • Nếu a > 1: Hàm số đồng biến trên ℝ.
  • Nếu 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên ℝ.
• Giới hạn:
  • lim_x→+∞ a^x = +∞ (khi a > 1)
  • lim_x→+∞ a^x = 0 (khi 0 < a < 1)

Đồ thị hàm số mũ: Đồ thị hàm số y = a^x luôn đi qua điểm (0, 1). Khi a > 1, đồ thị nằm phía trên trục hoành và tăng dần. Khi 0 < a < 1, đồ thị nằm phía trên trục hoành và giảm dần.

2. Hàm Số Lôgarit

Hàm số lôgarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Hàm số lôgarit có dạng y = log_ax, trong đó a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1) và x > 0.

Hàm số lôgarit có những tính chất quan trọng sau:

• Tập xác định: (0, +∞)
• Chiều biến thiên:
  • Nếu a > 1: Hàm số đồng biến trên (0, +∞).
  • Nếu 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên (0, +∞).
• Giới hạn:
  • lim_x→0+ log_ax = -∞ (khi a > 1)
  • lim_x→0+ log_ax = +∞ (khi 0 < a < 1)

Đồ thị hàm số lôgarit: Đồ thị hàm số y = log_ax luôn đi qua điểm (1, 0). Khi a > 1, đồ thị nằm bên phải trục tung và tăng dần. Khi 0 < a < 1, đồ thị nằm bên phải trục tung và giảm dần.

3. Mối Quan Hệ Giữa Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Cụ thể:

• log_ab = x ⇔ a^x = b

4. Bài Tập Vận Dụng

Để hiểu rõ hơn về hàm số mũ và hàm số lôgarit, chúng ta hãy xem xét một số bài tập ví dụ:

1. Giải phương trình: 2^x = 8
2. Giải phương trình: log₃(x + 1) = 2
3. Tìm tập xác định của hàm số: y = log₂(x - 3)

Lời giải:

• 2^x = 8 ⇔ 2^x = 2³ ⇔ x = 3
• log₃(x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = 3² ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8
• Tập xác định của hàm số y = log₂(x - 3) là x - 3 > 0 ⇔ x > 3. Vậy tập xác định là (3, +∞).

5. Ứng Dụng của Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tăng trưởng dân số: Mô hình tăng trưởng dân số thường sử dụng hàm số mũ.
• Phân rã phóng xạ: Quá trình phân rã phóng xạ được mô tả bằng hàm số mũ.
• Lãi kép: Tính toán lãi kép sử dụng hàm số mũ.
• Đo cường độ âm thanh: Cường độ âm thanh được đo bằng decibel (dB) sử dụng hàm số lôgarit.
• Đo độ pH: Độ pH của một dung dịch được tính bằng hàm số lôgarit.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về hàm số mũ và hàm số lôgarit. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.