Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Trong lý thuyết xác suất, việc hiểu rõ các phép toán trên biến cố là vô cùng quan trọng. Bài học này sẽ tập trung vào một trong những phép toán cơ bản nhất: phép hợp của hai biến cố và quy tắc cộng xác suất tương ứng.

1. Biến cố hợp là gì?

Biến cố hợp (Union of events) của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra.

Ví dụ:

• A: Tung đồng xu được mặt ngửa.
• B: Tung đồng xu được mặt sấp.
• A ∪ B: Tung đồng xu được mặt ngửa hoặc mặt sấp (chắc chắn xảy ra).

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất cho phép chúng ta tính xác suất của biến cố hợp A ∪ B. Có hai trường hợp cần xem xét:

2.1. Hai biến cố A và B xung khắc (Mutually Exclusive Events)

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Tức là, A ∩ B = ∅ (tập rỗng). Trong trường hợp này, quy tắc cộng xác suất được đơn giản hóa như sau:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Ví dụ:

Tung một con xúc xắc sáu mặt. Xét các biến cố:

• A: Xuất hiện mặt 1.
• B: Xuất hiện mặt 2.

A và B là hai biến cố xung khắc. Xác suất để xuất hiện mặt 1 hoặc mặt 2 là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

2.2. Hai biến cố A và B không xung khắc (Non-Mutually Exclusive Events)

Nếu A và B không xung khắc, tức là chúng có thể xảy ra đồng thời, thì quy tắc cộng xác suất được phát biểu như sau:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó, P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao (Intersection of events) của A và B, tức là xác suất để cả A và B cùng xảy ra.

Ví dụ:

Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xét các biến cố:

• A: Rút được lá Át.
• B: Rút được lá Cơ.

A và B không xung khắc vì có lá Át Cơ. Xác suất để rút được lá Át hoặc lá Cơ là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

3. Bài tập vận dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.
2. Gieo hai con xúc xắc sáu mặt. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

4. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Việc nắm vững những khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và áp dụng vào thực tế.