Đề bài
Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\);
b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và \(N\left( {2;5;3} \right)\).
c) \(\Delta \) đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
‒ Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 5 + 3t\\z = 7 + 4t\end{array} \right.\).
Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 5;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 5}}{3} = \frac{{z - 7}}{4}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 5t\\z = 4 - t\end{array} \right.\).
Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;5; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 6z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 - 5t\\z = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {3;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{6}\).
