Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số trên một khoảng xác định. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết, phương pháp và các bài tập minh họa để bạn có thể nắm vững kiến thức này.

1. Khái niệm hàm số đơn điệu

Một hàm số f(x) được gọi là:

• Đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂).
• Nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

Hàm số được gọi là đơn điệu trên khoảng (a, b) nếu nó đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng đó.

2. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b). Khi đó:

• f(x) đồng biến trên (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a, b).
• f(x) nghịch biến trên (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc (a, b).

Lưu ý: Nếu f'(x) = 0 tại một điểm x₀ thuộc (a, b) thì hàm số không đổi dấu tại x₀, do đó không khẳng định được tính đơn điệu tại điểm đó.

3. Bài tập minh họa

Bài 1: Xét hàm số f(x) = x². Hãy xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

Giải:

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 2x
2. Tìm khoảng f'(x) > 0: 2x > 0 => x > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0, +∞).
3. Tìm khoảng f'(x) < 0: 2x < 0 => x < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0).

Kết luận: Hàm số f(x) = x² đồng biến trên khoảng (0, +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, 0).

4. Mở rộng và ứng dụng

Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, và trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.

5. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, bạn nên luyện tập thêm các bài tập về tính đơn điệu của hàm số. tusach.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện kỹ năng giải toán của mình.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!