Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của dữ liệu là vô cùng quan trọng. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là hai chỉ số thường được sử dụng để đánh giá sự biến động của một tập dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích hai khái niệm này, đặc biệt là khi áp dụng cho mẫu số liệu ghép nhóm.
1. Khoảng biến thiên (Range)
Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định các cận dưới và cận trên của các khoảng lớp để tính toán khoảng biến thiên.
Công thức:
Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Ví dụ: Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Khoảng lớp | Tần số (f) |
|---|
| [10-20) | 5 |
| [20-30) | 10 |
| [30-40) | 15 |
| [40-50) | 8 |
Giá trị nhỏ nhất là 10 (cận dưới của khoảng lớp đầu tiên) và giá trị lớn nhất là 50 (cận trên của khoảng lớp cuối cùng). Do đó, khoảng biến thiên là 50 - 10 = 40.
2. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). Nó đo lường sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm, ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên.
Các bước tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm:
- Tính tần số tích lũy: Cộng dồn tần số của các khoảng lớp.
- Xác định vị trí của Q1 và Q3:
- Vị trí Q1 = (n + 1) / 4
- Vị trí Q3 = 3(n + 1) / 4
(n là tổng tần số)
- Tìm khoảng lớp chứa Q1 và Q3: Xác định khoảng lớp mà vị trí Q1 và Q3 rơi vào.
- Tính Q1 và Q3: Sử dụng công thức nội suy để tính Q1 và Q3.
Q1 = A + [(Q1_pos - Ftrước) / fQ1] * h
Q3 = A + [(Q3_pos - Ftrước) / fQ3] * h
(A là cận dưới của khoảng lớp chứa Q1/Q3, Ftrước là tần số tích lũy trước khoảng lớp chứa Q1/Q3, fQ1/Q3 là tần số của khoảng lớp chứa Q1/Q3, h là chiều rộng khoảng lớp) - Tính IQR: IQR = Q3 - Q1
Ví dụ (tiếp tục với mẫu số liệu ghép nhóm ở trên):
Tổng tần số (n) = 5 + 10 + 15 + 8 = 38
Vị trí Q1 = (38 + 1) / 4 = 9.75
Vị trí Q3 = 3 * (38 + 1) / 4 = 29.25
Q1 nằm trong khoảng lớp [20-30) (tần số tích lũy trước là 5, tần số của khoảng lớp là 10, chiều rộng khoảng lớp là 10)
Q1 = 20 + [(9.75 - 5) / 10] * 10 = 24.75
Q3 nằm trong khoảng lớp [30-40) (tần số tích lũy trước là 15, tần số của khoảng lớp là 15, chiều rộng khoảng lớp là 10)
Q3 = 30 + [(29.25 - 15) / 15] * 10 = 36.5
IQR = 36.5 - 24.75 = 11.75
3. Ứng dụng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
- Đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu: Khoảng biến thiên và IQR giúp chúng ta hiểu dữ liệu trải rộng như thế nào.
- Phát hiện giá trị ngoại lệ: IQR có thể được sử dụng để xác định các giá trị ngoại lệ trong dữ liệu.
- So sánh các tập dữ liệu: Chúng ta có thể so sánh mức độ phân tán của các tập dữ liệu khác nhau bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và IQR.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác để nắm vững kiến thức này nhé!
