Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong chương trình Toán học lớp 12, bài học về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đóng vai trò then chốt trong việc hiểu sâu về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Bài học này không chỉ giới hạn ở việc tìm các điểm cực trị mà còn mở rộng đến việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một khoảng đóng hoặc mở.

I. Khái niệm cơ bản

1. Giá trị lớn nhất (Max): Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

2. Giá trị nhỏ nhất (Min): Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

1. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm f'(x).
3. Bước 3: Tìm các điểm dừng của hàm số (f'(x) = 0) và các điểm không xác định đạo hàm.
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị.
5. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của khoảng xét.
6. Bước 6: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

III. Các trường hợp đặc biệt

1. Hàm số trên khoảng đóng [a, b]: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm cực trị hoặc tại các điểm biên a và b.

2. Hàm số trên khoảng mở (a, b): Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể không tồn tại nếu hàm số không bị chặn trên khoảng đó.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

Giải:

• f'(x) = 3x² - 6x
• f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
• f(-1) = -4, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 2
• Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là -4, đạt được tại x = -1.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x - 1 trên khoảng [0, 3].
• Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x⁴ - 2x² + 3 trên khoảng [-2, 2].

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!