Đề bài
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = - x + 3 - \frac{5}{{2x + 1}}\) là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
Lời giải chi tiết
\(y = - x + 3 - \frac{5}{{2x + 1}} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}}\)
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = - \infty \)
Vậy \(x = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = + \infty \)
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{x\left( {2x + 1} \right)}} = - 1\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = 3\)
Vậy đường thẳng \(y = - x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy hàm số có 2 đường tiệm cận.
Chọn B.
