Đề bài
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).Cho hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}}\). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\).c) Điểm \(M\) nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} \ne 1\) thì tung độ là \({y_0} = - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}\).d) Tích khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó bằng 1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
Lời giải chi tiết
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} = - \infty \)
Vậy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy a) đúng.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} = - 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} = - 3\)
Vậy \(y = - 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Vậy b) sai.
• Điểm \(M\) nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} \ne 1\) thì tung độ là:
\({y_0} = \frac{{3{{\rm{x}}_0} - 2}}{{1 - {x_0}}} = \frac{{ - 3\left( {1 - {x_0}} \right) + 1}}{{1 - {x_0}}} = - 3 + \frac{1}{{1 - {x_0}}} = - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}\).
Vậy c) đúng.
• Xét điểm \(M\left( {{x_0}; - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng bằng: \(\left| {{x_0} - 1} \right|\).
Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang bằng: \(\left| { - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}} - \left( { - 3} \right)} \right| = \left| { - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).
Tích khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng: \(\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 1\).
Vậy d) đúng.
a) Đ.
b) S.
c) Đ.
d) Đ.
