Đề bài
Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\).
a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\).
‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
‒ Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: \(Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\) với \(D = - A{x_0} - B{y_0} - C{{\rm{z}}_0}\).
‒ Để chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng, ta chứng minh điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 - 0;0 - 1;3 - 1} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0 - 0;0 - 1;2 - 1} \right) = \left( {0; - 1;1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.0 - \left( { - 1} \right).1;\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 0.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1;1;1} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
\(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\).
d) Ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2 = - 2 \ne 0\) nên điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Vậy bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.
e) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
\(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
